Finite Mathematik Beispiele

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i}{4}$

Schritt 4.5

Zerlege den Bruch $\frac{1 + i}{4}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i}{4}$

Schritt 5.5

Zerlege den Bruch $\frac{1 - i}{4}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{4} + \frac{- i}{4}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$