Finite Mathematik Beispiele

$5565.13 = 5000 {(1 + r)}^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $5000 {(1 + r)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5565.13 - 5000 {(1 + r)}^{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $5565.13 - 5000 {(1 + r)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(1 + r)}^{2}$ als $(1 + r) (1 + r)$ um.

$5565.13 - 5000 ((1 + r) (1 + r)) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(1 + r) (1 + r)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5565.13 - 5000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5565.13 - 5000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5565.13 - 5000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r + r^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $r$ und $r$ .

$5565.13 - 5000 (1 + 2 r + r^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5565.13 - 5000 \cdot 1 - 5000 (2 r) - 5000 r^{2} = 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $- 5000$ mit $1$ .

$5565.13 - 5000 - 5000 (2 r) - 5000 r^{2} = 0$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5000$ .

$5565.13 - 5000 - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5000$ von $5565.13$ .

$565.13 - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $0.01$ aus $565.13 - 10000 r - 5000 r^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $0.01$ aus $565.13$ heraus.

$0.01 (56513) - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $0.01$ aus $- 10000 r$ heraus.

$0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r) - 5000 r^{2} = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $0.01$ aus $- 5000 r^{2}$ heraus.

$0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r)$ heraus.

$0.01 (56513 - 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2}) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (56513 - 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2})$ heraus.

$0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$ durch $0.01$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$ durch $0.01$ .

$\frac{0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2})}{0.01} = \frac{0}{0.01}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.01$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2})}{0.01} = \frac{0}{0.01}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}$ durch $1$ .

$56513 - 1000000 r - 500000 r^{2} = \frac{0}{0.01}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $0.01$ .

$56513 - 1000000 r - 500000 r^{2} = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 500000$ , $b = - 1000000$ und $c = 56513$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{1000000 \pm \sqrt{{(- 1000000)}^{2} - 4 \cdot (- 500000 \cdot 56513)}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 1000000$ mit $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $2000000$ mit $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7.1.3

Addiere $1000000000000$ und $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $1113026000000$ als $1000^{2} \cdot 1113026$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $1000000$ aus $1113026000000$ heraus.

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $1000000$ als $1000^{2}$ um.

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 1000000$ mit $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $2000000$ mit $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 8.1.3

Addiere $1000000000000$ und $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $1113026000000$ als $1000^{2} \cdot 1113026$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $1000000$ aus $1113026000000$ heraus.

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $1000000$ als $1000^{2}$ um.

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Schritt 8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Schritt 8.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 1000000$ mit $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $2000000$ mit $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 9.1.3

Addiere $1000000000000$ und $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $1113026000000$ als $1000^{2} \cdot 1113026$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $1000000$ aus $1113026000000$ heraus.

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $1000000$ als $1000^{2}$ um.

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Schritt 9.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}, - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}, - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Dezimalform:

$r = - 2.05500047 \dots, 0.05500047 \dots$