Finite Mathematik Beispiele

$5 z^{2} - 6 z = z^{3}$

Schritt 1

Subtrahiere $z^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 z^{2} - 6 z - z^{3} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $z$ aus $5 z^{2} - 6 z - z^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $z$ aus $5 z^{2}$ heraus.

$z (5 z) - 6 z - z^{3} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $z$ aus $- 6 z$ heraus.

$z (5 z) + z \cdot - 6 - z^{3} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $z$ aus $- z^{3}$ heraus.

$z (5 z) + z \cdot - 6 + z (- z^{2}) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $z$ aus $z (5 z) + z \cdot - 6$ heraus.

$z (5 z - 6) + z (- z^{2}) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $z$ aus $z (5 z - 6) + z (- z^{2})$ heraus.

$z (5 z - 6 - z^{2}) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.1

Stelle die Terme um.

$z (- z^{2} + 5 z - 6) = 0$

Schritt 3.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 6 = 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 z$ heraus.

$z (- z^{2} + 5 (z) - 6) = 0$

Schritt 3.1.2.2

Schreibe $5$ um als $2$ plus $3$

$z (- z^{2} + (2 + 3) z - 6) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$z (- z^{2} + 2 z + 3 z - 6) = 0$

Schritt 3.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$z ((- z^{2} + 2 z) + 3 z - 6) = 0$

Schritt 3.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$z (z (- z + 2) - 3 (- z + 2)) = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- z + 2$ .

$z ((- z + 2) (z - 3)) = 0$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$z (- z + 2) (z - 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z = 0$

$- z + 2 = 0$

$z - 3 = 0$

Schritt 5

Setze $z$ gleich $0$ .

$z = 0$

Schritt 6

Setze $- z + 2$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $- z + 2$ gleich $0$ .

$- z + 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse $- z + 2 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- z = - 2$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- z = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- z = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- z}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{z}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$z = 2$

Schritt 7

Setze $z - 3$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $z - 3$ gleich $0$ .

$z - 3 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 3$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $z (- z + 2) (z - 3) = 0$ wahr machen.

$z = 0, 2, 3$