Finite Mathematik Beispiele

$5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $z^{\frac{3}{5}}$ aus $5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $z^{\frac{3}{5}}$ aus $5 z^{\frac{13}{5}}$ heraus.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $z^{\frac{3}{5}}$ aus $- 31 z^{\frac{8}{5}}$ heraus.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $z^{\frac{3}{5}}$ aus $6 z^{\frac{3}{5}}$ heraus.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $z^{\frac{3}{5}}$ aus $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}})$ heraus.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $z^{\frac{3}{5}}$ aus $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6$ heraus.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 31$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 31$ aus $- 31 z^{\frac{5}{5}}$ heraus.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 31$ um als $- 1$ plus $- 30$

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} + (- 1 - 30) z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}} - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}}) - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$z^{\frac{3}{5}} (z^{\frac{5}{5}} (5 z^{\frac{5}{5}} - 1) - 6 (5 z^{\frac{5}{5}} - 1)) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 z^{\frac{5}{5}} - 1$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{5}{5}} - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Schritt 3

Dividiere $5$ durch $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Schritt 4

Dividiere $5$ durch $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z - 6)) = 0$

Schritt 5

Entferne unnötige Klammern.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

$5 z - 1 = 0$

$z - 6 = 0$

Schritt 7

Setze $z^{\frac{3}{5}}$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $z^{\frac{3}{5}}$ gleich $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

Schritt 7.2

Löse $z^{\frac{3}{5}} = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 7.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1.1

Vereinfache ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Vereinfache $0^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Schritt 7.2.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z = 0^{5}$

Schritt 7.2.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$z = 0$

Schritt 8

Setze $5 z - 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $5 z - 1$ gleich $0$ .

$5 z - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $5 z - 1 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 z = 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 z = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 z = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{1}{5}$

Schritt 9

Setze $z - 6$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $z - 6$ gleich $0$ .

$z - 6 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 6$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$ wahr machen.

$z = 0, \frac{1}{5}, 6$