Finite Mathematik Beispiele

$z = {(1 + i)}^{7}$

Schritt 1

Subtrahiere ${(1 + i)}^{7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z - {(1 + i)}^{7} = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$z - (1^{7} + 7 \cdot 1^{6} i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z - (1 + 7 \cdot 1^{6} i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z - (1 + 7 \cdot 1 i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot 1 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $21$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot - 1 + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 \cdot 1 i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (i^{2} \cdot i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (- 1 \cdot i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (- i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $35$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.16

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.2.16.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 {(i^{2})}^{2} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.16.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.16.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1 + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.17

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 \cdot 1 i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.19

Mutltipliziere $21$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.20

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 (i^{4} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.21

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.2.21.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 ({(i^{2})}^{2} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.21.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 ({(- 1)}^{2} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.21.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 (1 i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.22

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.23

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 i^{6} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.24

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 (i^{4} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.25

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.2.25.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.25.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.25.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 (1 i^{2}) + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.26

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 i^{2} + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.27

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 \cdot - 1 + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.28

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{7}) = 0$

Schritt 2.2.29

Schreibe $i^{7}$ als $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ um.

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Schritt 2.2.29.1

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{4} i^{3}) = 0$

Schritt 2.2.29.2

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{4} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Schritt 2.2.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.2.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + {(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Schritt 2.2.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + {(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Schritt 2.2.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + 1 (i^{2} \cdot i)) = 0$

Schritt 2.2.31

Mutltipliziere $i^{2} \cdot i$ mit $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{2} \cdot i) = 0$

Schritt 2.2.32

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 - 1 \cdot i) = 0$

Schritt 2.2.33

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 - i) = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $21$ von $1$ .

$z - (- 20 + 7 i - 35 i + 35 + 21 i - 7 - i) = 0$

Schritt 2.4

Addiere $- 20$ und $35$ .

$z - (15 + 7 i - 35 i + 21 i - 7 - i) = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $7$ von $15$ .

$z - (8 + 7 i - 35 i + 21 i - i) = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $35 i$ von $7 i$ .

$z - (8 - 28 i + 21 i - i) = 0$

Schritt 2.7

Addiere $- 28 i$ und $21 i$ .

$z - (8 - 7 i - i) = 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $i$ von $- 7 i$ .

$z - (8 - 8 i) = 0$

Schritt 2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$z - 1 \cdot 8 - (- 8 i) = 0$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$z - 8 - (- 8 i) = 0$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$z - 8 + 8 i = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z + 8 i = 8$

Schritt 3.2

Subtrahiere $8 i$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = 8 - 8 i$