Finite Mathematik Beispiele

$\ln (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\ln (x) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere $- \frac{1}{2} \ln (2 x + \frac{5}{2})$ .

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Schritt 2.1.1.1

Stelle $\ln (2 x + \frac{5}{2})$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\ln (x) - (\frac{1}{2} \ln (2 x + \frac{5}{2})) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (2 x + \frac{5}{2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x) - \ln ({(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \ln (2)$ .

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Schritt 2.1.2.1

Stelle $\ln (2)$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\ln (x) - \ln ({(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2} \ln (2)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x) - \ln ({(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}}) - \ln (2^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 2.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.5

Kombinieren.

$\ln (\frac{x \cdot 1}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{x}{{(2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $2 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{x}{{(\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{x}{{(\frac{2 x \cdot 2 + 5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\ln (\frac{x}{{(\frac{4 x + 5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x + 5}{2}$ an.

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ und $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}}) = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}}) = 0$

Schritt 2.9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{1}}) = 0$

Schritt 2.9.2

Dividiere ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 5$

Schritt 4