Finite Mathematik Beispiele

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

Schritt 1

Subtrahiere $\ln (6)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

Schritt 3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

Schritt 4

Schreibe $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ um.

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $6 \frac{x (x + 1)}{6}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

Schritt 5.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Schritt 5.3.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Schritt 5.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $6 e^{0}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x^{2} + x = 6$

Schritt 5.4

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 5.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 5.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 5.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5.8

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3$