Finite Mathematik Beispiele

$9 x^{2} - 24 x + 20 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 24$ und $c = 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 20)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 9 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 20$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 36 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $20$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 720}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $720$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 144$ als $- 1 (144)$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (144)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{24 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{18}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 12 i}{18}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{3}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 9 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 20$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 36 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $20$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 720}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $720$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 144$ als $- 1 (144)$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (144)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{24 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{18}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 12 i}{18}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{3}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + 2 i}{3}$

Schritt 4.5

Zerlege den Bruch $\frac{4 + 2 i}{3}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{4}{3} + \frac{2 i}{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 9 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 20$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 36 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $20$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 720}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $720$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 144$ als $- 1 (144)$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (144)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{24 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{18}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 12 i}{18}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{3}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - 2 i}{3}$

Schritt 5.5

Zerlege den Bruch $\frac{4 - 2 i}{3}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{4}{3} + \frac{- 2 i}{3}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{4}{3} - \frac{2 i}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4}{3} + \frac{2 i}{3}, \frac{4}{3} - \frac{2 i}{3}$