Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{2} + 15 x + 25 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ und deren Summe gleich $b = 15$ ist.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 x$ heraus.

$2 x^{2} + 15 (x) + 25 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Schreibe $15$ um als $5$ plus $10$

$2 x^{2} + (5 + 10) x + 25 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 5 x + 10 x + 25 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 5 x) + 10 x + 25 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x + 5) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.2.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 1.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 5) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{2}, - 5$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.1.4

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.1.5

Addiere $0$ und $25$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.2.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = \frac{25}{0 + 0 - 16}$

Schritt 2.2.4.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 16}$

Schritt 2.2.4.2.5

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$y = \frac{25}{- 16}$

Schritt 2.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{25}{16}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{25}{16})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{25}{16})$

Schritt 4