Finite Mathematik Beispiele

Bestimme die x- und y-Achsenabschnitte f(x)=(-x^3+3x^2+13x-15)
Schritt 1
Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.
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Schritt 1.1
Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze für ein und löse nach auf.
Schritt 1.2
Löse die Gleichung.
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Schritt 1.2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.2.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.2.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
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Schritt 1.2.2.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 1.2.2.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 1.2.2.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
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Schritt 1.2.2.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 1.2.2.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.2.2.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2.1.3.4
Potenziere mit .
Schritt 1.2.2.1.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2.1.3.6
Addiere und .
Schritt 1.2.2.1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2.1.3.8
Addiere und .
Schritt 1.2.2.1.3.9
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.2.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 1.2.2.1.5
Dividiere durch .
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Schritt 1.2.2.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
--++-
Schritt 1.2.2.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
--++-
Schritt 1.2.2.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
--++-
-+
Schritt 1.2.2.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
--++-
+-
Schritt 1.2.2.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
--++-
+-
+
Schritt 1.2.2.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-
--++-
+-
++
Schritt 1.2.2.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+
--++-
+-
++
Schritt 1.2.2.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+
--++-
+-
++
+-
Schritt 1.2.2.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+
--++-
+-
++
-+
Schritt 1.2.2.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+
--++-
+-
++
-+
+
Schritt 1.2.2.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-+
--++-
+-
++
-+
+-
Schritt 1.2.2.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-++
--++-
+-
++
-+
+-
Schritt 1.2.2.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-++
--++-
+-
++
-+
+-
+-
Schritt 1.2.2.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-++
--++-
+-
++
-+
+-
-+
Schritt 1.2.2.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-++
--++-
+-
++
-+
+-
-+
Schritt 1.2.2.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 1.2.2.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 1.2.2.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 1.2.2.2.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 1.2.2.2.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 1.2.2.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.2.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 1.2.2.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.2.2.2.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 1.2.2.2.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 1.2.2.2.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.2.2.2.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 1.2.2.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 1.2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.4.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.5.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.5.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.2.5.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.5.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.5.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.2.6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.6.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.6.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.
Schnittpunkt(e) mit der x-Achse:
Schnittpunkt(e) mit der x-Achse:
Schritt 2
Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.
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Schritt 2.1
Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze für ein und löse nach auf.
Schritt 2.2
Löse die Gleichung.
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Schritt 2.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 2.2.2
Entferne die Klammern.
Schritt 2.2.3
Entferne die Klammern.
Schritt 2.2.4
Entferne die Klammern.
Schritt 2.2.5
Vereinfache .
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Schritt 2.2.5.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.2.5.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.2.5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.5.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.2.5.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.5.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.5.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 2.2.5.2.1
Addiere und .
Schritt 2.2.5.2.2
Addiere und .
Schritt 2.2.5.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.3
Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.
Schnittpunkt(e) mit der y-Achse:
Schnittpunkt(e) mit der y-Achse:
Schritt 3
Führe die Schnittpunkte auf.
Schnittpunkt(e) mit der x-Achse:
Schnittpunkt(e) mit der y-Achse:
Schritt 4