Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ um.

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Schritt 1.2.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.6

Addiere $- 1$ und $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.7

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$2 + 13 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.8

Addiere $2$ und $13$ .

$15 - 15$

Schritt 1.2.2.1.3.9

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$0$

Schritt 1.2.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

Schritt 1.2.2.1.5

Dividiere $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

Schritt 1.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

Schritt 1.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 1.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Schritt 1.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Schritt 1.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 2 x$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

Schritt 1.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Schritt 1.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Schritt 1.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Schritt 1.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15 x - 15$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Schritt 1.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Schritt 1.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + 2 x + 15$

Schritt 1.2.2.1.6

Schreibe $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.5

Setze $- x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $- x - 3$ gleich $0$ .

$- x - 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $- x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 3$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x = - 3$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 3, 5$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

Schritt 2.2.5.1.5

Mutltipliziere $13$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 15$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 15$

Schritt 2.2.5.2.3

Subtrahiere $15$ von $0$ .

$y = - 15$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 15)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 15)$

Schritt 4