Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 0.25 x^{2} - 2.5 x - 8$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 0.25 x^{2} - 2.5 x - 8$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $0.25 x^{2} - 2.5 x - 8 = 0$ um.

$0.25 x^{2} - 2.5 x - 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2} - 2.5 x - 8$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2}$ heraus.

$0.25 (x^{2}) - 2.5 x - 8 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $0.25$ aus $- 2.5 x$ heraus.

$0.25 (x^{2}) + 0.25 (- 10 x) - 8 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $0.25$ aus $- 8$ heraus.

$0.25 x^{2} + 0.25 (- 10 x) + 0.25 \cdot - 32 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 x^{2} + 0.25 (- 10 x)$ heraus.

$0.25 (x^{2} - 10 x) + 0.25 \cdot - 32 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 (x^{2} - 10 x) + 0.25 \cdot - 32$ heraus.

$0.25 (x^{2} - 10 x - 32) = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $0.25 (x^{2} - 10 x - 32) = 0$ durch $0.25$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $0.25 (x^{2} - 10 x - 32) = 0$ durch $0.25$ .

$\frac{0.25 (x^{2} - 10 x - 32)}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.25$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.25 (x^{2} - 10 x - 32)}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 10 x - 32$ durch $1$ .

$x^{2} - 10 x - 32 = \frac{0}{0.25}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $0.25$ .

$x^{2} - 10 x - 32 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = - 32$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 32$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 32$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $100$ und $128$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{228}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $228$ als $2^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $228$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (57)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 57}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{57}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 32$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 32$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $100$ und $128$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{228}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $228$ als $2^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $228$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (57)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 57}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{57}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 5 + \sqrt{57}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 32$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 32$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $100$ und $128$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{228}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $228$ als $2^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $228$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (57)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 57}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{57}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{57}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 5 - \sqrt{57}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 5 + \sqrt{57}, 5 - \sqrt{57}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5 + \sqrt{57}, 0), (5 - \sqrt{57}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 0.25 {(0)}^{2} - 2.5 \cdot 0 - 8$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0.25 \cdot 0^{2} - 2.5 \cdot 0 - 8$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0.25 {(0)}^{2} - 2.5 \cdot 0 - 8$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $0.25 {(0)}^{2} - 2.5 \cdot 0 - 8$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0.25 \cdot 0 - 2.5 \cdot 0 - 8$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $0.25$ mit $0$ .

$y = 0 - 2.5 \cdot 0 - 8$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2.5$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 8$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 8$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$y = - 8$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 8)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5 + \sqrt{57}, 0), (5 - \sqrt{57}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 8)$

Schritt 4