Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x = 0$ um.

$4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$x (4 x^{2}) - 5 x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (- 5 x) - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2}) + x (- 5 x)$ heraus.

$x (4 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 2$ heraus.

$x (4 x^{2} - 5 x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $4 x^{2} - 5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $4 x^{2} - 5 x - 2$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $4 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 5$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Addiere $25$ und $32$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Addiere $25$ und $32$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + \sqrt{57}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Addiere $25$ und $32$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - \sqrt{57}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{57}}{8}, \frac{5 - \sqrt{57}}{8}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (4 x^{2} - 5 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{5 + \sqrt{57}}{8}, \frac{5 - \sqrt{57}}{8}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{5 + \sqrt{57}}{8}, 0), (\frac{5 - \sqrt{57}}{8}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 4 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $4 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{5 + \sqrt{57}}{8}, 0), (\frac{5 - \sqrt{57}}{8}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4