Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{2} - 2 x - 24$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$ um.

$2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 2 x - 24$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 2 x - 24 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- x) - 24 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 12) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 12) = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - x) + 2 (- 12)$ heraus.

$2 (x^{2} - x - 12) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4, 0), (- 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 24$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - 24$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 24$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $2 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 24$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 24$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 - 24$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 24$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 24$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $24$ von $0$ .

$y = - 24$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 24)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4, 0), (- 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 24)$

Schritt 4