Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$ um.

$0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 x^{3}$ heraus.

$0.1 (x^{3}) - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.3 x^{2}$ heraus.

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) - 1.8 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $0.1$ aus $- 1.8 x$ heraus.

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $0.1$ aus $4$ heraus.

$0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2})$ heraus.

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Schritt 1.2.2.1.6

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x)$ heraus.

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Schritt 1.2.2.1.7

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40$ heraus.

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Schritt 1.2.2.2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Schritt 1.2.2.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Schritt 1.2.2.2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Schritt 1.2.2.2.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$8 - 12 - 18 \cdot 2 + 40$

Schritt 1.2.2.2.3.5

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$- 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Schritt 1.2.2.2.3.6

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$- 4 - 36 + 40$

Schritt 1.2.2.2.3.7

Subtrahiere $36$ von $- 4$ .

$- 40 + 40$

Schritt 1.2.2.2.3.8

Addiere $- 40$ und $40$ .

$0$

Schritt 1.2.2.2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40}{x - 2}$

Schritt 1.2.2.2.5

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ durch $x - 2$ .

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Schritt 1.2.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$40$

Schritt 1.2.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$

Schritt 1.2.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 1.2.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 1.2.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.2.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.2.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$

Schritt 1.2.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Schritt 1.2.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Schritt 1.2.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	+	$40$

Schritt 1.2.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x + 40$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$

Schritt 1.2.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$
										$0$

Schritt 1.2.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x - 20$

Schritt 1.2.2.2.6

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ als eine Menge von Faktoren.

$0.1 ((x - 2) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 1.2.2.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$0.1 ((x - 2) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$0.1 ((x - 2) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 5, - 4$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 \cdot 0^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0.1 \cdot 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $0.1$ mit $0$ .

$y = 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0.3 \cdot 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 0.3$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 4$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 4$

Schritt 2.2.4.2.3

Addiere $0$ und $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 4