Finite Mathematik Beispiele

$y = 2 x^{2} + 7 x - 14$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{2} + 7 x - 14$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} + 7 x - 14 = 0$ um.

$2 x^{2} + 7 x - 14 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 7$ und $c = - 14$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 14)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 14$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 14$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.1.3

Addiere $49$ und $112$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 14$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 14$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.3

Addiere $49$ und $112$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.5.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{161}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{161})}{4}$

Schritt 1.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{161})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{161})}{4}$

Schritt 1.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 14$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 14$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $49$ und $112$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.6.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{161}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{161})}{4}$

Schritt 1.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (\sqrt{161})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{161})}{4}$

Schritt 1.2.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 + \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{161}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{7 - \sqrt{161}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{161}}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 14$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{2} + 7 (0) - 14$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 14$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 14$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 7 (0) - 14$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 7 (0) - 14$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 14$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 14$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $14$ von $0$ .

$y = - 14$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 14)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{7 - \sqrt{161}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{161}}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 14)$

Schritt 4