Finite Mathematik Beispiele

$y = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$ um.

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{3}$ heraus.

${(x - 2)}^{2} (x - 2) - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus $- 6 {(x - 2)}^{2}$ heraus.

${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6 + 9 x - 18 = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6$ heraus.

${(x - 2)}^{2} (x - 2 - 6) + 9 x - 18 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $6$ von $- 2$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x - 18 = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $9$ aus $9 x - 18$ heraus.

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Schritt 1.2.3.3.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x) - 18 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Faktorisiere $9$ aus $- 18$ heraus.

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.3.3.3

Faktorisiere $9$ aus $9 x + 9 \cdot - 2$ heraus.

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3.4

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2)$ heraus.

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Schritt 1.2.3.4.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x - 2)}^{2} (x - 8)$ heraus.

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + 9 (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3.4.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $9 (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9 = 0$

Schritt 1.2.3.4.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9$ heraus.

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8) + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.5

Multipliziere $(x - 2) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (x (x - 8) - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.6.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x + 16 + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.6.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 8 x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 16 + 9) = 0$

Schritt 1.2.3.7

Addiere $16$ und $9$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Schritt 1.2.3.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.3.8.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 1.2.3.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.6

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse ${(x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 2, 5$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (5, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 (0 - 2)$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.5

Vereinfache ${((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = {(- 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.5.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$y = - 8 - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.5.1.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = - 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.5.1.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = - 8 - 6 \cdot 4 + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.5.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$y = - 8 - 24 + 9 ((0) - 2)$

Schritt 2.2.5.1.6

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = - 8 - 24 + 9 \cdot - 2$

Schritt 2.2.5.1.7

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$y = - 8 - 24 - 18$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.5.2.1

Subtrahiere $24$ von $- 8$ .

$y = - 32 - 18$

Schritt 2.2.5.2.2

Subtrahiere $18$ von $- 32$ .

$y = - 50$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 50)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 50)$

Schritt 4