Finite Mathematik Beispiele

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Schritt 1

Schreibe $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ als Gleichung.

$y = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$ um.

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die Terme um.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3} - 10 x$ heraus.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3}$ heraus.

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Faktorisiere $10 x$ aus $- 10 x$ heraus.

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.2.3

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ heraus.

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Schritt 2.2.2.7

Faktorisiere $u^{2} - 12 u + 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $11$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 11, - 1$

Schritt 2.2.2.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.11

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 2.2.2.11.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $10 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.11.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Schritt 2.2.2.11.3

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Schritt 2.2.2.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Schritt 2.2.2.13

Faktorisiere $10 u + u^{2} - 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 11$ und deren Summe $10$ ist.

$- 1, 11$

Schritt 2.2.2.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Schritt 2.2.2.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Schritt 2.2.2.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Schritt 2.2.2.15

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.2.15.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Schritt 2.2.2.15.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Schritt 2.2.2.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Schritt 2.2.2.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.2.5

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.5.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.2.6

Setze $x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $x + 11$ gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, - 11$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.4

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.5

Vereinfache ${(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$ .

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.5.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.5.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.5.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.5.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Schritt 3.2.5.1.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 11$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 11$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 11$

Schritt 3.2.5.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 11$

Schritt 3.2.5.2.4

Addiere $0$ und $11$ .

$y = 11$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 11)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 11)$

Schritt 5