Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} - 16 x + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $x^{2} - 16 x$ und $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 64 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $x^{2} - 16 x$ und $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x^{2} - 16 x + 8^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 1.2.4

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(8, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $0$ und $y^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = 64$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.3

Subtrahiere $256$ von $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $- 156$ als $- 1 (156)$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (156)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.7

Schreibe $156$ als $2^{2} \cdot 39$ um.

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Schritt 2.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $156$ heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Subtrahiere $256$ von $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $- 156$ als $- 1 (156)$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (156)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.7

Schreibe $156$ als $2^{2} \cdot 39$ um.

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Schritt 2.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $156$ heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Schritt 2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 5 + i \sqrt{39}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $256$ von $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $- 156$ als $- 1 (156)$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (156)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.7

Schreibe $156$ als $2^{2} \cdot 39$ um.

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Schritt 2.2.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $156$ heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 5 - i \sqrt{39}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 5 + i \sqrt{39}, 5 - i \sqrt{39}$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(8, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4