Finite Mathematik Beispiele

$2800 x - 8 x^{2} - x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $2800 x - 8 x^{2} - x^{3}$ als Gleichung.

$y = 2800 x - 8 x^{2} - x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2800 x - 8 x^{2} - x^{3}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $2800 x - 8 x^{2} - x^{3} = 0$ um.

$2800 x - 8 x^{2} - x^{3} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$2800 u - 8 u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $2800 u - 8 u^{2} - u^{3}$ heraus.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $2800 u$ heraus.

$u \cdot 2800 - 8 u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- 8 u^{2}$ heraus.

$u \cdot 2800 + u (- 8 u) - u^{3} = 0$

Schritt 2.2.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{3}$ heraus.

$u \cdot 2800 + u (- 8 u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 2800 + u (- 8 u)$ heraus.

$u \cdot (2800 - 8 u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2.5

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot (2800 - 8 u) + u (- u^{2})$ heraus.

$u (2800 - 8 u - u^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (2800 - 8 x - x^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2800 - 8 x - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.5

Setze $2800 - 8 x - x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $2800 - 8 x - x^{2}$ gleich $0$ .

$2800 - 8 x - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.5.2

Löse $2800 - 8 x - x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.5.2.2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 8$ und $c = 2800$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 2800)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot 2800}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 2800$ .

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Schritt 2.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 2800}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2800$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 11200}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.3

Addiere $64$ und $11200$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{11264}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.4

Schreibe $11264$ als $32^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $1024$ aus $11264$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{1024 (11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{32^{2} \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{- 2}$

Schritt 2.2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{- 2}$ .

$x = \frac{4 \pm 16 \sqrt{11}}{- 1}$

Schritt 2.2.5.2.3.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm 16 \sqrt{11}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (4 \pm 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.3.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm 16 \sqrt{11})$ als $- (4 \pm 16 \sqrt{11})$ um.

$x = - (4 \pm 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot 2800}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 2800$ .

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Schritt 2.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 2800}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2800$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 11200}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.3

Addiere $64$ und $11200$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{11264}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.4

Schreibe $11264$ als $32^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $1024$ aus $11264$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{1024 (11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{32^{2} \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{- 2}$

Schritt 2.2.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{- 2}$ .

$x = \frac{4 \pm 16 \sqrt{11}}{- 1}$

Schritt 2.2.5.2.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm 16 \sqrt{11}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (4 \pm 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm 16 \sqrt{11})$ als $- (4 \pm 16 \sqrt{11})$ um.

$x = - (4 \pm 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.4.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - (4 + 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 4 - (16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = - 4 - (16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.4.9

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$x = - 4 - 16 \sqrt{11}$

Schritt 2.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot 2800}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 2800$ .

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Schritt 2.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 2800}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2800$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 11200}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.3

Addiere $64$ und $11200$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{11264}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.4

Schreibe $11264$ als $32^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $1024$ aus $11264$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{1024 (11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{32^{2} \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{- 2}$

Schritt 2.2.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 32 \sqrt{11}}{- 2}$ .

$x = \frac{4 \pm 16 \sqrt{11}}{- 1}$

Schritt 2.2.5.2.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm 16 \sqrt{11}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (4 \pm 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm 16 \sqrt{11})$ als $- (4 \pm 16 \sqrt{11})$ um.

$x = - (4 \pm 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.5.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - (4 - 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 4 - (- 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = - 4 - (- 16 \sqrt{11})$

Schritt 2.2.5.2.5.9

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = - 4 + 16 \sqrt{11}$

Schritt 2.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 4 - 16 \sqrt{11}, - 4 + 16 \sqrt{11}$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2800 - 8 x - x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4 - 16 \sqrt{11}, - 4 + 16 \sqrt{11}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 4 - 16 \sqrt{11}, 0), (- 4 + 16 \sqrt{11}, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2800 (0) - 8 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2800 (0) - 8 \cdot 0^{2} - {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2800 (0) - 8 \cdot 0^{2} - 0^{3}$

Schritt 3.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 2800 (0) - 8 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $2800 (0) - 8 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

Mutltipliziere $2800$ mit $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.4.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 - 0$

Schritt 3.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 4 - 16 \sqrt{11}, 0), (- 4 + 16 \sqrt{11}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 5