Finite Mathematik Beispiele

$\frac{{(y + 12)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{{((0) + 12)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{{((0) + 12)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Addiere $0$ und $12$ .

$\frac{12^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.2.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{144}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

Schritt 1.2.1.2.2

Dividiere $144$ durch $9$ .

$16 - \frac{x^{2}}{4} = 1$

Schritt 1.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{4} = 1 - 16$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$- \frac{x^{2}}{4} = - 15$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{x^{2}}{4}) = - 4 \cdot - 15$

Schritt 1.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- x^{2}}{4} = - 4 \cdot - 15$

Schritt 1.2.4.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- x^{2}}{4} = - 4 \cdot - 15$

Schritt 1.2.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{4} = - 4 \cdot - 15$

Schritt 1.2.4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x^{2} = - 4 \cdot - 15$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{2} = - 4 \cdot - 15$

Schritt 1.2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} = - 4 \cdot - 15$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x^{2} = 60$

Schritt 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{60}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{60}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 1.2.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (15)}$

Schritt 1.2.6.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Schritt 1.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{15}$

Schritt 1.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{15}$

Schritt 1.2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{15}$

Schritt 1.2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{15}, - 2 \sqrt{15}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 \sqrt{15}, 0), (- 2 \sqrt{15}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{{(y + 12)}^{2}}{9} - \frac{{(0)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $\frac{{(0)}^{2}}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(y + 12)}^{2}}{9} = 1 + \frac{{(0)}^{2}}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $1 + \frac{{(0)}^{2}}{4}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{{(y + 12)}^{2}}{9} = 1 + \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\frac{{(y + 12)}^{2}}{9} = 1 + 0$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(y + 12)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{{(y + 12)}^{2}}{9} = 9 \cdot 1$

Schritt 2.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{{(y + 12)}^{2}}{9} = 9 \cdot 1$

Schritt 2.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 12)}^{2} = 9 \cdot 1$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

${(y + 12)}^{2} = 9$

Schritt 2.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 12 = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y + 12 = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y + 12 = \pm 3$

Schritt 2.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y + 12 = 3$

Schritt 2.2.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.7.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 - 12$

Schritt 2.2.7.2.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$y = - 9$

Schritt 2.2.7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y + 12 = - 3$

Schritt 2.2.7.4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.7.4.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3 - 12$

Schritt 2.2.7.4.2

Subtrahiere $12$ von $- 3$ .

$y = - 15$

Schritt 2.2.7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = - 9, - 15$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 9), (0, - 15)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 \sqrt{15}, 0), (- 2 \sqrt{15}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 9), (0, - 15)$

Schritt 4