Finite Mathematik Beispiele

$y = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$ um.

$- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} + 2 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $3$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{3}$ in den Zähler.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 6$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 9)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $36$ und $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $36$ und $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 3 + 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $36$ und $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 3 - 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + 3 \sqrt{2}, 3 - 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0^{2} + 2 (0) + 3$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 (0) + 3$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{3}) + 2 (0) + 3$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y = 0 + 2 (0) + 3$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 3$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 3$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 4