Finite Mathematik Beispiele

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} + 6$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} + 6$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} + 6 = 0$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} + 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} = - 6$

Schritt 1.2.3

Kombiniere ${(x + 3)}^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x + 3)}^{2}}{3} = - 6$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{{(x + 3)}^{2}}{3}) = - 3 \cdot - 6$

Schritt 1.2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{{(x + 3)}^{2}}{3})$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(x + 3)}^{2}}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- {(x + 3)}^{2}}{3} = - 3 \cdot - 6$

Schritt 1.2.5.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- {(x + 3)}^{2}}{3} = - 3 \cdot - 6$

Schritt 1.2.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- {(x + 3)}^{2}}{3} = - 3 \cdot - 6$

Schritt 1.2.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - {(x + 3)}^{2} = - 3 \cdot - 6$

Schritt 1.2.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(x + 3)}^{2} = - 3 \cdot - 6$

Schritt 1.2.5.1.1.2.2

Mutltipliziere ${(x + 3)}^{2}$ mit $1$ .

${(x + 3)}^{2} = - 3 \cdot - 6$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

${(x + 3)}^{2} = 18$

Schritt 1.2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 3 = \pm \sqrt{18}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache $\pm \sqrt{18}$ .

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Schritt 1.2.7.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.7.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$x + 3 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Schritt 1.2.7.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x + 3 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 3 = \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 3 = 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 \sqrt{2} - 3$

Schritt 1.2.8.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 3 = - 3 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3 \sqrt{2} - 3$

Schritt 1.2.8.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt{2} - 3, - 3 \sqrt{2} - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3 \sqrt{2} - 3, 0), (- 3 \sqrt{2} - 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {((0) + 3)}^{2} + 6$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0 + 3)}^{2} + 6$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {((0) + 3)}^{2} + 6$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot {((0) + 3)}^{2} + 6$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $0$ und $3$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot 3^{2} + 6$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 1}{3} \cdot 3^{2} + 6$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) + 6$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) + 6$

Schritt 2.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 \cdot 3 + 6$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 3 + 6$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $- 3$ und $6$ .

$y = 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3 \sqrt{2} - 3, 0), (- 3 \sqrt{2} - 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 4