Finite Mathematik Beispiele

$g (x) = 12 x - 36 \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 12 x - 36 \sqrt{x}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $12 x - 36 \sqrt{x} = 0$ um.

$12 x - 36 \sqrt{x} = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 36 \sqrt{x} = - 12 x$

Schritt 1.2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 36 \sqrt{x})}^{2} = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 36 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache ${(- 36 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 36 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 36)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$1296 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1296 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1296 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1296 x^{1} = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Vereinfache.

$1296 x = {(- 12 x)}^{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Vereinfache ${(- 12 x)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 12 x$ an.

$1296 x = {(- 12)}^{2} x^{2}$

Schritt 1.2.4.3.1.2

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$1296 x = 144 x^{2}$

Schritt 1.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Subtrahiere $144 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1296 x - 144 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$1296 u - 144 u^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Faktorisiere $144 u$ aus $1296 u - 144 u^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Faktorisiere $144 u$ aus $1296 u$ heraus.

$144 u (9) - 144 u^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Faktorisiere $144 u$ aus $- 144 u^{2}$ heraus.

$144 u (9) + 144 u (- u) = 0$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Faktorisiere $144 u$ aus $144 u (9) + 144 u (- u)$ heraus.

$144 u (9 - u) = 0$

Schritt 1.2.5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$144 x (9 - x) = 0$

Schritt 1.2.5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0$

Schritt 1.2.5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5.5

Setze $9 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.5.1

Setze $9 - x$ gleich $0$ .

$9 - x = 0$

Schritt 1.2.5.5.2

Löse $9 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 9$

Schritt 1.2.5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.5.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.5.2.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x = 9$

Schritt 1.2.5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $144 x (9 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 9$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (9, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 12 (0) - 36 \sqrt{0}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 12 (0) - 36 \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $12 (0) - 36 \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$y = 0 - 36 \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = 0 - 36 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 0 - 36 \cdot 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (9, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4