Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$ um.

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

Schritt 1.2.2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Schritt 1.2.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Schritt 1.2.2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 35 \cdot - 1 - 39$

Schritt 1.2.2.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 1 + 5 - 35 \cdot - 1 - 39$

Schritt 1.2.2.3.5

Addiere $- 1$ und $5$ .

$4 - 35 \cdot - 1 - 39$

Schritt 1.2.2.3.6

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 1$ .

$4 + 35 - 39$

Schritt 1.2.2.3.7

Addiere $4$ und $35$ .

$39 - 39$

Schritt 1.2.2.3.8

Subtrahiere $39$ von $39$ .

$0$

Schritt 1.2.2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39}{x + 1}$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$35 x$

$39$

Schritt 1.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$

Schritt 1.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Schritt 1.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Schritt 1.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 1.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 1.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$

Schritt 1.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Schritt 1.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 39 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Schritt 1.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							-	$39 x$	-	$39$

Schritt 1.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 39 x - 39$

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$

Schritt 1.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$
										$0$

Schritt 1.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 4 x - 39$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} + 4 x - 39$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} + 4 x - 39$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} + 4 x - 39 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 39$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 39)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Addiere $16$ und $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Schreibe $172$ als $2^{2} \cdot 43$ um.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $172$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Addiere $16$ und $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4

Schreibe $172$ als $2^{2} \cdot 43$ um.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $172$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{43}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Addiere $16$ und $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4

Schreibe $172$ als $2^{2} \cdot 43$ um.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $172$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Schritt 1.2.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{43}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 5 \cdot 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 35$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 39$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 39$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 39$

Schritt 2.2.4.2.3

Subtrahiere $39$ von $0$ .

$y = - 39$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 39)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 39)$

Schritt 4