Finite Mathematik Beispiele

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

$\to$

$\infty$ , wenn

$x$

$\to$

$0$ von links und

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

$\to$

$- \infty$ , wenn

$x$

$\to$

$0$ von rechts, dann ist

$x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Berechne

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 1.3.1

Schreibe

$e^{- x} \ln (x)$ als

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Schritt 1.3.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.3.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen

$\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 1.3.2.1.3

Da der Exponent

$x$ gegen

$\infty$ geht, nähert sich die Größe

$e^{x}$

$\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 1.3.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 1.3.2.3.2

Die Ableitung von

$\ln (x)$ nach

$x$ ist

$\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 1.3.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich

$a^{x} \ln (a)$ ist, wobei

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Schritt 1.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 1.3.2.5

Mutltipliziere

$\frac{1}{x}$ mit

$\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Schritt 1.3.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch

$\frac{1}{x e^{x}}$

$0$ .

$0$

Schritt 1.4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten:

$x = 0$

Horizontale Asymptoten:

$y = 0$

Vertikale Asymptoten:

$x = 0$

Horizontale Asymptoten:

$y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei

$x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Schritt 2.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Schritt 2.2.3

Der natürliche Logarithmus von

$1$ ist

$0$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere

$\frac{1}{e}$ mit

$0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist

$0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere

$0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei

$x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$2$ .

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Schritt 3.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Schritt 3.2.3

Kombiniere

$\frac{1}{e^{2}}$ und

$\ln (2)$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Schritt 3.3

Konvertiere

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ nach Dezimal.

$y = 0.09380727$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei

$x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$3$ .

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Schritt 4.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Schritt 4.2.3

Kombiniere

$\frac{1}{e^{3}}$ und

$\ln (3)$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Schritt 4.3

Konvertiere

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ nach Dezimal.

$y = 0.05469668$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei

$x = 0$ und den Punkten

$(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Vertikale Asymptote:

$x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Schritt 6