Finite Mathematik Beispiele

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ nicht definiert ist.

$x \leq - 5, x = 0$

Schritt 1.2

Da $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von links und $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von rechts, dann ist $x = - 5$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 5$

Schritt 1.3

Da $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 5, 0$

Schritt 1.5

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Schritt 1.7

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 1.8

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 5, 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = - 5, 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $5 \ln (1 + 5)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Schritt 2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $1$ und $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Schritt 2.2.3.2

Potenziere $6$ mit $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Schritt 2.2.4

Dividiere $\ln (7776)$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (7776)$ nach Dezimal.

$y = 8.95879734$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $5 \ln (2 + 5)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.1

Addiere $2$ und $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $7$ mit $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\frac{\ln (16807)}{4}$ als $\frac{1}{4} \ln (16807)$ um.

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (16807)$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ nach Dezimal.

$y = 2.43238768$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $5 \ln (3 + 5)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $3$ und $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $8$ mit $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $\ln (32768)$ als $\ln (2^{15})$ um.

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Schritt 4.2.5

Zerlege $\ln (2^{15})$ durch Herausziehen von $15$ aus dem Logarithmus.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $9$ .

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $15 \ln (2)$ heraus.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Schritt 4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Schritt 4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache $5 \ln (2)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Schritt 4.2.8

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Schritt 4.2.9

Schreibe $\frac{\ln (32)}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (32)$ um.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Schritt 4.2.10

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (32)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.2.11

Die endgültige Lösung ist $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ nach Dezimal.

$y = 1.1552453$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - 5, 0$ und den Punkten $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Schritt 6