Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 11$

Schritt 1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 11 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = y^{2} + 4 y - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (4 y) - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y + 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Addiere $4$ und $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + (2 - 6) y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 2 y - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y^{2} + 2 y) - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (y (- y + 2) + 6 (- y + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y + 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $4 (- y + 2) (y + 6)$ als $2^{2} ((- y + 2) (y + 6))$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

$x = - 1 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$