Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + (p + 1) x + 2 p - 1 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + p x + 1 x + 2 p - 1 = 0$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + p x + x + 2 p - 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = p + 1$ und $c = 2 p - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (p + 1) \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 p - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- p - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${(p + 1)}^{2}$ als $(p + 1) (p + 1)$ um.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p + 1) (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $(p + 1) (p + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p (p + 1) + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.1.1

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.1.2

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.1.3

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $p$ und $p$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 (2 p) - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.10

Subtrahiere $8 p$ von $2 p$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.11

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.12

Faktorisiere $p^{2} - 6 p + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.12.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 4.1.12.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{p + 1 - \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

$x = - \frac{p + 1 + \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$