Finite Mathematik Beispiele

$\log_{b} (x) = \frac{3}{2} \cdot \log_{b} (9) - \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\log_{b} (9)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2}{3} \log_{b} (27)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\log_{b} (27)$ und $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{\log_{b} (27) \cdot 2}{3}$

Schritt 1.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ mit $6$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ mit $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (9) \cdot 3 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ in den Zähler.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 2.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 2.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 2 \log_{b} (27) \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $6 \log_{b} (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $9 \log_{b} (9)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (9^{9}) - 4 \log_{b} (27)$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $9$ mit $9$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - 4 \log_{b} (27)$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache $- 4 \log_{b} (27)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (27^{4})$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $27$ mit $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (531441)$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{387420489}{531441})$

Schritt 4.1.3

Dividiere $387420489$ durch $531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{6} = 729$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{729}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $729$ als $3^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$