Finite Mathematik Beispiele

$\frac{50}{1 + 4 e^{0.2 t}} = 20$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + 4 e^{0.2 t}$ .

$\frac{50}{1 + 4 e^{0.2 t}} (1 + 4 e^{0.2 t}) = 20 (1 + 4 e^{0.2 t})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 4 e^{0.2 t}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50}{1 + 4 e^{0.2 t}} (1 + 4 e^{0.2 t}) = 20 (1 + 4 e^{0.2 t})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$50 = 20 (1 + 4 e^{0.2 t})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $20 (1 + 4 e^{0.2 t})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$50 = 20 \cdot 1 + 20 (4 e^{0.2 t})$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$50 = 20 + 20 (4 e^{0.2 t})$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $20$ .

$50 = 20 + 80 e^{0.2 t}$

Schritt 3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $20 + 80 e^{0.2 t} = 50$ um.

$20 + 80 e^{0.2 t} = 50$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$80 e^{0.2 t} = 50 - 20$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $20$ von $50$ .

$80 e^{0.2 t} = 30$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $80 e^{0.2 t} = 30$ durch $80$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $80 e^{0.2 t} = 30$ durch $80$ .

$\frac{80 e^{0.2 t}}{80} = \frac{30}{80}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $80$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{80 e^{0.2 t}}{80} = \frac{30}{80}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $e^{0.2 t}$ durch $1$ .

$e^{0.2 t} = \frac{30}{80}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $80$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $30$ heraus.

$e^{0.2 t} = \frac{10 (3)}{80}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $80$ heraus.

$e^{0.2 t} = \frac{10 \cdot 3}{10 \cdot 8}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{0.2 t} = \frac{10 \cdot 3}{10 \cdot 8}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{0.2 t} = \frac{3}{8}$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{0.2 t}) = \ln (\frac{3}{8})$

Schritt 3.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{0.2 t})$ durch Herausziehen von $0.2 t$ aus dem Logarithmus.

$0.2 t \ln (e) = \ln (\frac{3}{8})$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$0.2 t \cdot 1 = \ln (\frac{3}{8})$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $0.2$ mit $1$ .

$0.2 t = \ln (\frac{3}{8})$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $0.2 t = \ln (\frac{3}{8})$ durch $0.2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $0.2 t = \ln (\frac{3}{8})$ durch $0.2$ .

$\frac{0.2 t}{0.2} = \frac{\ln (\frac{3}{8})}{0.2}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.2$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.2 t}{0.2} = \frac{\ln (\frac{3}{8})}{0.2}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{3}{8})}{0.2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$t = \frac{\log_{2.71828182} (\frac{3}{8})}{0.2}$

Schritt 3.6.3.2

Dividiere $3$ durch $8$ .

$t = \frac{\log_{2.71828182} (0.375)}{0.2}$

Schritt 3.6.3.3

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $0.375$ ist ungefähr $- 0.98082925$ .

$t = \frac{- 0.98082925}{0.2}$

Schritt 3.6.3.4

Dividiere $- 0.98082925$ durch $0.2$ .

$t = - 4.90414626$