Finite Mathematik Beispiele

$y = \frac{9}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{9}{x^{2} - 1} = y$ um.

$\frac{9}{x^{2} - 1} = y$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{9}{x^{2} - 1^{2}} = y$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(x + 1) (x - 1)$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ mit $(x + 1) (x - 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ mit $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 1) (x - 1)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 = y ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 = y (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Schritt 4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 = y (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$9 = y (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$9 = y (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x - 1)$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$9 = y (x^{2} + 0 - 1)$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$9 = y (x^{2} - 1)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 = y x^{2} + y \cdot - 1$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$9 = y x^{2} - 1 \cdot y$

Schritt 4.3.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$9 = y x^{2} - y$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $y x^{2} - y = 9$ um.

$y x^{2} - y = 9$

Schritt 5.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} = 9 + y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y x^{2} = 9 + y$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y x^{2} = 9 + y$ durch $y$ .

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{9}{y} + 1$

Schritt 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + \frac{y}{y}}$

Schritt 5.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{9 + y}{y}}$

Schritt 5.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{9 + y}{y}}$ als $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$

Schritt 5.5.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Schritt 5.5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Schritt 5.5.5.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Schritt 5.5.5.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Schritt 5.5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Schritt 5.5.5.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 5.5.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Schritt 5.5.5.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y}$

Schritt 5.5.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$

Schritt 5.5.7

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$