Finite Mathematik Beispiele

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ um.

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe

1

$1$ als

1^{2}

$1^{2}$ um.

\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Schritt 2.3

Faktorisiere

x^{2} - 7 x + 12

$x^{2} - 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

12

$12$ und deren Summe

- 7

$- 7$ ist.

- 4, - 3

$- 4, - 3$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

(x - 4) (x - 3), 1

$(x - 4) (x - 3), 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ mit

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ mit

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$ .

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.2

Multipliziere

$(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.2

Bringe

$- 1$ auf die linke Seite von

$x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.3

Schreibe

$- 1 x$ als

$- x$ um.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.2

Addiere

$- x$ und

$x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.3

Addiere

$x^{2}$ und

$0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere

$(x - 4) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Schritt 4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.2.1.2

Bringe

$- 3$ auf die linke Seite von

$x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere

$4 x$ von

$- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Schritt 4.3.4.2

Bringe

$12$ auf die linke Seite von

$y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

$x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere

$x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Schritt 5.3

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte

$a = y - 1$ ,

$b = - 7 y$ und

$c = 12 y + 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Wende die Produktregel auf

$- 7 y$ an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.2

Potenziere

$- 7$ mit

$2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.4

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.5

Multipliziere

$(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.2

Multipliziere

$y$ mit

$y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.6.1.2.1

Bewege

$y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.2.2

Mutltipliziere

$y$ mit

$y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.3

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.4

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.5

Mutltipliziere

$12$ mit

$4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.6

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.2

Addiere

$- 4 y$ und

$48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.7

Subtrahiere

$48 y^{2}$ von

$49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$