Finite Mathematik Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ um.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(x - 4) (x - 3)$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ mit $(x - 4) (x - 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ mit $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 4) (x - 3)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $(x - 4) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Schritt 4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.2.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Schritt 4.3.4.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Schritt 5.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ und $c = 12 y + 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Wende die Produktregel auf $- 7 y$ an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.2

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.5

Multipliziere $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.6.1.2.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.6.2

Addiere $- 4 y$ und $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.6.7

Subtrahiere $48 y^{2}$ von $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$