Finite Mathematik Beispiele

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

Schritt 4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

Schritt 5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

Schritt 6

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

Schritt 7

Schreibe $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} + x = e^{2}$ um.

$2 x^{2} + x = e^{2}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $e^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

Schritt 8.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 1$ und $c = - e^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 8.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Schritt 8.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Dezimalform:

$x = 1.68830545 \dots$