Finite Mathematik Beispiele

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)) - \log_{b} (20)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere $\frac{2}{3} (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25))$ .

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Schritt 1.1.1.1

Kombiniere $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ und $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3} \log_{b} (25) - \log_{b} (20)$

Schritt 1.1.1.2

Kombiniere $\frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3}$ und $\log_{b} (25)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2 \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 1.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$ .

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Schritt 2.1.1

Um $64$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $64$ und $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{128 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $128$ und $1$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{129}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache $2 \log_{b} (\frac{129}{2})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} ({(\frac{129}{2})}^{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{129}{2}$ an.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{129^{2}}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.5.2.2

Potenziere $129$ mit $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 2.1.5.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{b} (x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} + \log_{b} (20) = 0$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x \cdot 20) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Schritt 5

Bringe $20$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{b} (20 x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Schritt 6

Addiere $\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$

Schritt 7

Schreibe $\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}} = 20 x$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ um.

$20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ durch $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$