Finite Mathematik Beispiele

$10 ({1.05}^{x}) = 11 ({1.04}^{x})$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (10 \cdot {1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (10 \cdot {1.05}^{x})$ als $\ln (10) + \ln ({1.05}^{x})$ um.

$\ln (10) + \ln ({1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({1.05}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (11 \cdot {1.04}^{x})$ als $\ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$ um.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln ({1.04}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Schritt 4

Stelle $\ln (10)$ und $x \ln (1.05)$ um.

$x \ln (1.05) + \ln (10) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Schritt 5

Stelle $\ln (11)$ und $x \ln (1.04)$ um.

$x \ln (1.05) + \ln (10) = x \ln (1.04) + \ln (11)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (1.05) + \ln (10) - x \ln (1.04) - \ln (11) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) + \ln (\frac{10}{11}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (\frac{10}{11})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Schritt 9

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1.05) - x \ln (1.04)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1.05)$ heraus.

$x (\ln (1.05)) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (1.04)$ heraus.

$x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Schritt 9.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04))$ heraus.

$x (\ln (1.05) - 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Schritt 10

Schreibe $- 1 \ln (1.04)$ als $- \ln (1.04)$ um.

$x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ durch $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ durch $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Dezimalform:

$x = 9.95983778 \dots$