Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} = 4$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt[3]{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 4 - \sqrt[3]{y^{2}}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x^{2} = 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$x^{2} = 64 + 48 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt[3]{y^{2}}$ an.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (1 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.8

Mutltipliziere ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.9

Schreibe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ um.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.10

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.2.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{4}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.11

Faktorisiere $y^{3}$ aus.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{3} y} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (y \sqrt[3]{y}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.13

Wende die Produktregel auf $- \sqrt[3]{y^{2}}$ an.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} + {(- 1)}^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.15

Schreibe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ als $y^{2}$ um.

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Schritt 3.3.1.2.15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2.15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.15.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.1.2.15.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{6}{3}}$

Schritt 3.3.1.2.15.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 3.3.1.2.15.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Schritt 3.3.1.2.15.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.15.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

Schritt 3.3.1.2.15.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

Schritt 3.3.1.2.15.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{1}}$

Schritt 3.3.1.2.15.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Schritt 4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Schritt 4.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Schritt 4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$