Finite Mathematik Beispiele

$4 y^{2} + x^{2} = 144$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 y^{2}}{144} + \frac{x^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{y^{2}}{36} + \frac{x^{2}}{144} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 12$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\sqrt{144 - {(6)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{144 - 1 \cdot 36}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\sqrt{144 - 36}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $36$ von $144$ .

$\sqrt{108}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$\sqrt{36 (3)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\sqrt{6^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$6 \sqrt{3}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + 12, 0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(12, 0)$

Schritt 6.4

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (12), 0)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- 12, 0)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(12, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 12, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(12, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 12, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + 6 \sqrt{3}, 0)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(6 \sqrt{3}, 0)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (6 \sqrt{3}), 0)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- 6 \sqrt{3}, 0)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6 \sqrt{3}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}}{12}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 6^{2}}}{12}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 36}}{12}$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\frac{\sqrt{144 - 36}}{12}$

Schritt 8.3.1.4

Subtrahiere $36$ von $144$ .

$\frac{\sqrt{108}}{12}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.3.1.5.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$\frac{\sqrt{36 (3)}}{12}$

Schritt 8.3.1.5.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 3}}{12}$

Schritt 8.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 \sqrt{3}}{12}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $12$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 (\sqrt{3})}{12}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(12, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 12, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(6 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6 \sqrt{3}, 0)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10