Finite Mathematik Beispiele

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$ gleich $0$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 4 x^{2}) + 4 x - 16 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 4) + 4 (x - 4) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 2.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.4.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 2.4.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x^{2} + 4) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 4$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 2 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 2 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 4$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 2 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 2 i$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3