Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ gleich $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x^{3} + 24 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 8 x$ aus $24 x$ heraus.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ heraus.

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} + 12 u - 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 45$ und deren Summe $12$ ist.

$- 3, 15$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $- 8 x (x^{2} - 3)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere $- 8 u + u^{2} + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 5$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 3$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 5$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 3$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3