Finite Mathematik Beispiele

$\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} = \frac{3 - x}{x + 1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{3 - x}{x + 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x) + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x) + 2 (1)}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1)}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - (\frac{2 (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{3 - x}{x + 1}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - (\frac{3 - x}{x + 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}) = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3 - x}{x + 1}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - \frac{(3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2.5

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (x + 1)$ um.

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 3 x - 2 (x + 1) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{5 - 3 x + (- 2 x - 2) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $(- 2 x - 2) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x (x + 1) - 2 (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 1 \cdot 3 - - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 - - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 + 1 x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 + x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.8

Multipliziere $(- 3 + x) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 (x + 3) + x (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3$ .

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Schritt 2.4.9.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- 3 x$ und $x \cdot 3$ neu an.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + 3 x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.9.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + 0 - 3 \cdot 3 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.9.3

Subtrahiere $3 \cdot 3$ von $0$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 \cdot 3 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.10.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 9 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{- 3 x - 2 x^{2} - 4 x + 3 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $4 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 7 x + 3 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.7

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 7 x + 3 - 9}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$\frac{- x^{2} - 7 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 6 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.9.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 7 (x) - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.9.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 6) x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 6 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 6 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 1) + 6 (- x - 1)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 1$ und $x + 1$ .

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.10.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.10.4

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.10.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x + 6)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 6}{x + 3} = 0$