Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{3} x^{2} + x - 4 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = \sqrt{3}$ , $b = 1$ und $c = - 4 \sqrt{3}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot (- 4 \sqrt{3}))}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (- 4 \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \sqrt{3} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $16 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.6

Addiere $1$ und $48$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.3.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 3.3.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \pm 7$ heraus.

$x = \frac{- 1 (- (- 1 \pm 7)) \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 (- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1 \pm 7$ mit $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren in $\frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$ um.

$x = \frac{\sqrt{3} (- 1 \pm 7)}{6}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{3} (- 1 \pm 7)}{6}$

Dezimalform:

$x = 1.73205080 \dots, - 2.30940107 \dots$