Finite Mathematik Beispiele

$m^{\frac{2}{3}} + 3 m^{\frac{1}{3}} + 8 = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $m^{\frac{1}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(m^{\frac{1}{3}})}^{2} + 3 m^{\frac{1}{3}} + 8$

Schritt 2

Ersetze $m^{\frac{1}{3}}$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) + 8 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere $3$ mit $u$ .

$u^{2} + 3 u + 8 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $m$ .

$m^{\frac{1}{3}} = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 5

Löse nach $m^{\frac{1}{3}} = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$ auf für $m$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(m^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$m^{1} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$m = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$ an.

$m = {(- 1)}^{3} {(\frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$ an.

$m = {(- 1)}^{3} \frac{{(3 - i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Berechne die Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$m = - \frac{{(3 - i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$m = - \frac{{(3 - i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$m = - \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.4.1.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$m = - \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m = - \frac{27 + 3^{1 + 2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$m = - \frac{27 + 3^{3} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$m = - \frac{27 - 27 (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{23}$ an.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 ({(- i)}^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.6.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (1 i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.8

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.10

Schreibe ${\sqrt{23}}^{2}$ als $23$ um.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{23}$ als $23^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {(23^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.4.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{1}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.11

Multipliziere $9 (- 1 \cdot 23)$ .

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Schritt 5.2.2.1.4.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $23$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 \cdot - 23 + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.11.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 23$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.12.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{23}$ an.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + {(- i)}^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.12.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - i^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.14

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.15

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.16

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - - i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + 1 i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.18

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.19

Schreibe ${\sqrt{23}}^{3}$ als $\sqrt{23^{3}}$ um.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{23^{3}}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.20

Potenziere $23$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{12167}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.21

Schreibe $12167$ als $23^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.21.1

Faktorisiere $529$ aus $12167$ heraus.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{529 (23)}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.21.2

Schreibe $529$ als $23^{2}$ um.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{23^{2} \cdot 23}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.22

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i (23 \sqrt{23})}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.23

Bringe $23$ auf die linke Seite von $i$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + 23 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.4.2.1

Subtrahiere $207$ von $27$ .

$m = - \frac{- 27 i \sqrt{23} - 180 + 23 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.2

Addiere $- 27 i \sqrt{23}$ und $23 i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{- 4 i \sqrt{23} - 180}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.3

Stelle $- 4 i \sqrt{23}$ und $- 180$ um.

$m = - \frac{- 180 - 4 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 180 - 4 i \sqrt{23}$ und $8$ .

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Schritt 5.2.2.1.4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 180$ heraus.

$m = - \frac{4 (- 45) - 4 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 i \sqrt{23}$ heraus.

$m = - \frac{4 (- 45) + 4 (- i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 45) + 4 (- i \sqrt{23})$ heraus.

$m = - \frac{4 (- 45 - i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1.4.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$m = - \frac{4 (- 45 - i \sqrt{23})}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = - \frac{4 (- 45 - i \sqrt{23})}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$m = - \frac{- 45 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.5

Schreibe $- 45$ als $- 1 (45)$ um.

$m = - \frac{- 1 (45) - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{23}$ heraus.

$m = - \frac{- 1 (45) - (i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (45) - (i \sqrt{23})$ heraus.

$m = - \frac{- 1 (45 + i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.4.2.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m = - - \frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = 1 \frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.8.3

Mutltipliziere $\frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$ mit $1$ .

$m = \frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6

Löse nach $m^{\frac{1}{3}} = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ auf für $m$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(m^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$m^{1} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$m = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ an.

$m = {(- 1)}^{3} {(\frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ an.

$m = {(- 1)}^{3} \frac{{(3 + i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Berechne die Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$m = - \frac{{(3 + i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$m = - \frac{{(3 + i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$m = - \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$m = - \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m = - \frac{27 + 3^{1 + 2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$m = - \frac{27 + 3^{3} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.5

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{23}$ an.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {\sqrt{23}}^{2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.7

Schreibe ${\sqrt{23}}^{2}$ als $23$ um.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{23}$ als $23^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {(23^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{1}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.8

Multipliziere $9 (- 1 \cdot 23)$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $23$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 \cdot - 23 + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.8.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 23$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.9

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{23}$ an.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 + i^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 + i^{2} \cdot i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - 1 \cdot i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.13

Schreibe ${\sqrt{23}}^{3}$ als $\sqrt{23^{3}}$ um.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{23^{3}}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.14

Potenziere $23$ mit $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{12167}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.15

Schreibe $12167$ als $23^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 6.2.2.1.4.1.15.1

Faktorisiere $529$ aus $12167$ heraus.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{529 (23)}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.15.2

Schreibe $529$ als $23^{2}$ um.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{23^{2} \cdot 23}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i (23 \sqrt{23})}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.1.17

Mutltipliziere $23$ mit $- 1$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - 23 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.4.2.1

Subtrahiere $207$ von $27$ .

$m = - \frac{27 i \sqrt{23} - 180 - 23 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.2

Subtrahiere $23 i \sqrt{23}$ von $27 i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{4 i \sqrt{23} - 180}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.3

Stelle $4 i \sqrt{23}$ und $- 180$ um.

$m = - \frac{- 180 + 4 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 180 + 4 i \sqrt{23}$ und $8$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 180$ heraus.

$m = - \frac{4 \cdot - 45 + 4 i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 i \sqrt{23}$ heraus.

$m = - \frac{4 \cdot - 45 + 4 (i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot - 45 + 4 (i \sqrt{23})$ heraus.

$m = - \frac{4 \cdot (- 45 + i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.4.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$m = - \frac{4 \cdot (- 45 + i \sqrt{23})}{4 (2)}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = - \frac{4 \cdot (- 45 + i \sqrt{23})}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$m = - \frac{- 45 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.5

Schreibe $- 45$ als $- 1 (45)$ um.

$m = - \frac{- 1 (45) + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{23}$ heraus.

$m = - \frac{- 1 (45) - (- i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (45) - (- i \sqrt{23})$ heraus.

$m = - \frac{- 1 (45 - i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.4.2.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m = - - \frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = 1 \frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.8.3

Mutltipliziere $\frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$ mit $1$ .

$m = \frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$