Finite Mathematik Beispiele

$y = - 3 x^{2} + x + 2$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 3 x^{2} + x + 2$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{2} + x + 2 = 0$ um.

$- 3 x^{2} + x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2} + x + 2$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) + x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- (3 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (3 x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (3 x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- (3 x^{2} - (x) - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$- (3 x^{2} + (2 - 3) x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} + 2 x - 3 x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} + 2 x) - 3 x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x + 2) - (3 x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$- ((3 x + 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x + 2) (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x + 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{2}{3}, 0), (1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 3 {(0)}^{2} + 0 + 2$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 3 {(0)}^{2} + 0 + 2$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cdot 0^{2} + 0 + 2$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 3 {(0)}^{2} + 0 + 2$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $- 3 {(0)}^{2} + 0 + 2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 3 \cdot 0 + 0 + 2$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 2$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 2$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{2}{3}, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 4