Finite Mathematik Beispiele

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x - 2} - 2$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x - 2} - 2$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x - 2} - 2 = 0$ um.

$4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x - 2} - 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \cdot \frac{1^{x - 2}}{2^{x - 2}} - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot \frac{1}{2^{x - 2}} - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2^{x - 2}}$ .

$\frac{4}{2^{x - 2}} - 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{2^{x - 2}} = 2$

Schritt 1.2.4

Bringe $2^{x - 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4 \cdot 2^{- (x - 2)} = 2$

Schritt 1.2.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2^{2} \cdot 2^{- (x - 2)} = 2$

Schritt 1.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{2 - (x - 2)} = 2$

Schritt 1.2.7

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{2 - (x - 2)} = 2^{1}$

Schritt 1.2.8

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 - (x - 2) = 1$

Schritt 1.2.9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.1

Vereinfache $2 - (x - 2)$ .

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Schritt 1.2.9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.9.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - x - - 2 = 1$

Schritt 1.2.9.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 - x + 2 = 1$

Schritt 1.2.9.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- x + 4 = 1$

Schritt 1.2.9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.9.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 1 - 4$

Schritt 1.2.9.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- x = - 3$

Schritt 1.2.9.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.9.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.9.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.9.3.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{(0) - 2} - 2$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0 - 2} - 2$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{(0) - 2} - 2$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{(0) - 2} - 2$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 2$

Schritt 2.2.3.1.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$y = 4 \cdot 2^{2} - 2$

Schritt 2.2.3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 \cdot 4 - 2$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = 16 - 2$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$y = 14$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 14)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 14)$

Schritt 4