Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Schritt 1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$f (x) = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f (x) = 16 - 24 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 4 + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f (x) = - 8 - 24 + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $24$ von $- 8$ .

$f (x) = - 32 + 28 \cdot 2 - 24$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $28$ mit $2$ .

$f (x) = - 32 + 56 - 24$

Schritt 1.3.10

Addiere $- 32$ und $56$ .

$f (x) = 24 - 24$

Schritt 1.3.11

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$f (x) = 0$

Schritt 1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24}{x - 2}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ durch $x - 2$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 2 x^{3}$

$f (x) =$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + 2 x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 16 x$

$f (x) =$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x - 24$

$f (x) =$

Schritt 1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = (x - 2) (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (x) = 8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 2.3.5

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$f (x) = 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f (x) = 4 - 16 + 12$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$f (x) = - 12 + 12$

Schritt 2.3.8

Addiere $- 12$ und $12$ .

$f (x) = 0$

Schritt 2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}{x - 2}$

Schritt 2.5

Dividiere $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - 2 x$

$f (x) =$

Schritt 2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x + 12$

$f (x) =$

Schritt 2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = x^{2} + x - 6$

Schritt 2.6

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x^{2} + x - 6))$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + i x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $i$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$f (x) = - 2, 3$

Schritt 3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) ((x - 2) (x + 3)))$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Schritt 4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 4.1

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Schritt 4.1.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Schritt 4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 3))$

Schritt 4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{2} (x + 3))$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x - 2) {(x - 2)}^{2} (x + 3)$

Schritt 5

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = {(x - 2)}^{1 + 2} (x + 3)$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x) = {(x - 2)}^{3} (x + 3)$