Finite Mathematik Beispiele

$67416 = 6000 {(1 + r)}^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $6000 {(1 + r)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$67416 - 6000 {(1 + r)}^{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $67416 - 6000 {(1 + r)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(1 + r)}^{2}$ als $(1 + r) (1 + r)$ um.

$67416 - 6000 ((1 + r) (1 + r)) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(1 + r) (1 + r)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$67416 - 6000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$67416 - 6000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r \cdot r) = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $r$ und $r$ .

$67416 - 6000 (1 + 2 r + r^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$67416 - 6000 \cdot 1 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $- 6000$ mit $1$ .

$67416 - 6000 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6000$ .

$67416 - 6000 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6000$ von $67416$ .

$61416 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 24$ aus $61416 - 12000 r - 6000 r^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.1.1

Bewege $61416$ .

$- 12000 r - 6000 r^{2} + 61416 = 0$

Schritt 3.1.2

Stelle $- 12000 r$ und $- 6000 r^{2}$ um.

$- 6000 r^{2} - 12000 r + 61416 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 24$ aus $- 6000 r^{2}$ heraus.

$- 24 (250 r^{2}) - 12000 r + 61416 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 24$ aus $- 12000 r$ heraus.

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) + 61416 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 24$ aus $61416$ heraus.

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r)$ heraus.

$- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 (- 2559)$ heraus.

$- 24 (250 r^{2} + 500 r - 2559) = 0$

Schritt 4

Benutze die Quadratformel (Quadratische Gleichung), um die Wurzeln für $250 r^{2} + 500 r - 2559 = 0$ zu finden

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} = 0$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 250$ , $b = 500$ und $c = - 2559$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 500 \pm \sqrt{500^{2} - 4 \cdot (250 \cdot - 2559)}}{2 \cdot 250} = 0$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $500$ mit $2$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 4 \cdot 250 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 250 \cdot - 2559$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 1000 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1000$ mit $- 2559$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 + 2559000}}{2 \cdot 250}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $250000$ und $2559000$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{2809000}}{2 \cdot 250}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $2809000$ als $530^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $280900$ aus $2809000$ heraus.

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{280900 (10)}}{2 \cdot 250}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $280900$ als $530^{2}$ um.

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{530^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 250}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{2 \cdot 250}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$ .

$r = \frac{- 50 \pm 53 \sqrt{10}}{50}$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Dezimalform:

$r = 2.35201431 \dots, - 4.35201431 \dots$