Finite Mathematik Beispiele

0.002 x^{2} + 2 x + 5000 = y

$0.002 x^{2} + 2 x + 5000 = y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

y = 0.002 x^{2} + 2 x + 5000

$y = 0.002 x^{2} + 2 x + 5000$ um.

y = 0.002 x^{2} + 2 x + 5000

$y = 0.002 x^{2} + 2 x + 5000$

Schritt 2

Faktorisiere

0.002

$0.002$ aus

0.002 x^{2} + 2 x + 5000

$0.002 x^{2} + 2 x + 5000$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere

0.002

$0.002$ aus

0.002 x^{2}

$0.002 x^{2}$ heraus.

y = 0.002 (x^{2}) + 2 x + 5000

$y = 0.002 (x^{2}) + 2 x + 5000$

Schritt 2.2

Faktorisiere

0.002

$0.002$ aus

2 x

$2 x$ heraus.

y = 0.002 (x^{2}) + 0.002 (1000 x) + 5000

$y = 0.002 (x^{2}) + 0.002 (1000 x) + 5000$

Schritt 2.3

Faktorisiere

0.002

$0.002$ aus

5000

$5000$ heraus.

y = 0.002 x^{2} + 0.002 (1000 x) + 0.002 \cdot 2500000

$y = 0.002 x^{2} + 0.002 (1000 x) + 0.002 \cdot 2500000$

Schritt 2.4

Faktorisiere

0.002

$0.002$ aus

0.002 x^{2} + 0.002 (1000 x)

$0.002 x^{2} + 0.002 (1000 x)$ heraus.

y = 0.002 (x^{2} + 1000 x) + 0.002 \cdot 2500000

$y = 0.002 (x^{2} + 1000 x) + 0.002 \cdot 2500000$

Schritt 2.5

Faktorisiere

0.002

$0.002$ aus

0.002 (x^{2} + 1000 x) + 0.002 \cdot 2500000

$0.002 (x^{2} + 1000 x) + 0.002 \cdot 2500000$ heraus.

y = 0.002 (x^{2} + 1000 x + 2500000)

$y = 0.002 (x^{2} + 1000 x + 2500000)$

y = 0.002 (x^{2} + 1000 x + 2500000)

$y = 0.002 (x^{2} + 1000 x + 2500000)$

Schritt 3

Faktorisiere die komplexen Zahlen.

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Schritt 3.1

Benutze die Quadratformel (Quadratische Gleichung), um die Wurzeln für

x^{2} + 1000 x + 2500000 = 0

$x^{2} + 1000 x + 2500000 = 0$ zu finden

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Schritt 3.1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.1.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = 1000

$b = 1000$ und

c = 2500000

$c = 2500000$ in die Quadratformel ein und löse nach

x

$x$ auf.

y = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2500000)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2500000)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.3.1.1

Potenziere

1000

$1000$ mit

2

$2$ .

x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 4 \cdot 1 \cdot 2500000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 4 \cdot 1 \cdot 2500000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 2500000

$- 4 \cdot 1 \cdot 2500000$ .

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Schritt 3.1.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 4 \cdot 2500000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 4 \cdot 2500000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

2500000

$2500000$ .

x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 10000000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 10000000}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 10000000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 10000000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Subtrahiere

10000000

$10000000$ von

1000000

$1000000$ .

x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{- 9000000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{- 9000000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Schreibe

- 9000000

$- 9000000$ als

- 1 (9000000)

$- 1 (9000000)$ um.

x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{- 1 \cdot 9000000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{- 1 \cdot 9000000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (9000000)}

$\sqrt{- 1 (9000000)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9000000}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9000000}$ um.

x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9000000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9000000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.6

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

x = \frac{- 1000 \pm i \cdot \sqrt{9000000}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm i \cdot \sqrt{9000000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.7

Schreibe

9000000

$9000000$ als

3000^{2}

$3000^{2}$ um.

x = \frac{- 1000 \pm i \cdot \sqrt{3000^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm i \cdot \sqrt{3000^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

x = \frac{- 1000 \pm i \cdot 3000}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm i \cdot 3000}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.9

Bringe

3000

$3000$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

x = \frac{- 1000 \pm 3000 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm 3000 i}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 1000 \pm 3000 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1000 \pm 3000 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 1000 \pm 3000 i}{2}

$x = \frac{- 1000 \pm 3000 i}{2}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache

\frac{- 1000 \pm 3000 i}{2}

$\frac{- 1000 \pm 3000 i}{2}$ .

x = - 500 \pm 1500 i

$x = - 500 \pm 1500 i$

x = - 500 \pm 1500 i

$x = - 500 \pm 1500 i$

x = - 500 \pm 1500 i

$x = - 500 \pm 1500 i$

Schritt 3.2

Ermittle die Faktoren aus den Wurzeln und multipliziere die Faktoren dann miteinander.

y = 0.002 (x - (- 500 + 1500 i)) (x - (- 500 - 1500 i))

$y = 0.002 (x - (- 500 + 1500 i)) (x - (- 500 - 1500 i))$

y = 0.002 (x - (- 500 + 1500 i)) (x - (- 500 - 1500 i))

$y = 0.002 (x - (- 500 + 1500 i)) (x - (- 500 - 1500 i))$