Finite Mathematik Beispiele

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (x (x - 4))$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$(0) - 2 = \frac{4}{3} \cdot (x (x - 4))$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4)) = (0) - 2$ um.

$\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4)) = (0) - 2$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4))) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4)))$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 4)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x^{2} + x \cdot - 4)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x^{2} - 4 \cdot x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{2} + \frac{4}{3} (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.4

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.5

Multipliziere $\frac{4}{3} (- 4 x)$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.5.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{3} x) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 16}{3} x) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{- 16}{3}$ und $x$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.3.1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} - \frac{16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{3}{4} (- \frac{16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.3

Kombinieren.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} (- \frac{16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.6.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16 x}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 16 x}{3} = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 16 x}{3} = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} (- 16 x) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.6.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} (4 (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} (4 (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{2}}{4} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.1.1.7.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} ((0) - 2)$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 1.2.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2} \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - 4 x = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 1.2.5

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.7

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 8$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 1.2.9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$

Schritt 1.2.9.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.9.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 1.2.10.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$

Schritt 1.2.10.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.10.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}, \frac{4 - \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{4 + \sqrt{10}}{2}, 0), (\frac{4 - \sqrt{10}}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot ((0) ((0) - 4))$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot ((0) ((0) - 4))$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $(0) ((0) - 4)$ heraus.

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (3 ((0) ((0) - 4)))$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (3 ((0) ((0) - 4)))$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 2 = 4 \cdot ((0) ((0) - 4))$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere mit null.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $(0) - 4$ .

$y - 2 = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{4 + \sqrt{10}}{2}, 0), (\frac{4 - \sqrt{10}}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 4