Finite Mathematik Beispiele

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 12 x^{2} + 122 x - 39$

Schritt 1

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = 3 x^{4} - 10 x^{3} - 12 x^{2} + 122 x - 39$

Schritt 2

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung $3$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $3$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden $(3 - 2)$ .

Positive Wurzeln: $3$ oder $1$

Schritt 3

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{4} - 10 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 10 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = 3 (1 x^{4}) - 10 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f (- x) = 3 x^{4} - 10 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 3 x^{4} - 10 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 12 {(- x)}^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = 3 x^{4} - 10 (- x^{3}) - 12 {(- x)}^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f (- x) = 3 x^{4} + 10 x^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 3 x^{4} + 10 x^{3} - 12 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = 3 x^{4} + 10 x^{3} - 12 (1 x^{2}) + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = 3 x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} + 122 (- x) - 39$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $122$ .

$f (- x) = 3 x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 122 x - 39$

Schritt 5

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $1$ Vorzeichenwechsel erfolgt, gibt es höchstens $1$ negative Wurzel (Vorzeichenregel von Descartes).

Negative Wurzeln: $1$

Schritt 6

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $3$ oder $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $1$ .

Positive Wurzeln: $3$ oder $1$

Negative Wurzeln: $1$