Finite Mathematik Beispiele

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} + 2 p^{2} w - 6 p^{3} - 1$

Schritt 1

Vereinfache und ordne das Polynom in absteigender Reihenfolge neu an, um die Regel von Descartes anzuwenden.

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Schritt 1.1

Bewege $2 p^{2} w$ .

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 1.2

Stelle $- 18 p^{5}$ und $12 p^{5} w^{5}$ um.

$12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 2

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (p) = 12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 3

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung $3$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $3$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden $(3 - 2)$ .

Positive Wurzeln: $3$ oder $1$

Schritt 4

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $p$ durch $- p$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- p) = 12 {(- p)}^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $- p$ an.

$f (- p) = 12 ({(- 1)}^{5} p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- p) = 12 (- p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $- p$ an.

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 ({(- 1)}^{5} p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.5

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 (- p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.7

Wende die Produktregel auf $- p$ an.

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 ({(- 1)}^{3} p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 (- p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.10

Wende die Produktregel auf $- p$ an.

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} p^{2}) w - 1$

Schritt 5.11

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 (1 p^{2}) w - 1$

Schritt 5.12

Mutltipliziere $p^{2}$ mit $1$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 6

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $2$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $2$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $2 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$

Schritt 7

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $3$ oder $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $2$ oder $0$ .

Positive Wurzeln: $3$ oder $1$

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$