Finite Mathematik Beispiele

- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} + 2 p^{2} w - 6 p^{3} - 1

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} + 2 p^{2} w - 6 p^{3} - 1$

Schritt 1

Vereinfache und ordne das Polynom in absteigender Reihenfolge neu an, um die Regel von Descartes anzuwenden.

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Schritt 1.1

Bewege

2 p^{2} w

$2 p^{2} w$ .

- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 1.2

Stelle

- 18 p^{5}

$- 18 p^{5}$ und

12 p^{5} w^{5}

$12 p^{5} w^{5}$ um.

12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1

$12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1

$12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 2

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

f (p) = 12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1

$f (p) = 12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 3

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung

3

$3$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens

3

$3$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden

(3 - 2)

$(3 - 2)$ .

Positive Wurzeln:

3

$3$ oder

1

$1$

Schritt 4

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze

p

$p$ durch

- p

$- p$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

f (- p) = 12 {(- p)}^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1

$f (- p) = 12 {(- p)}^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf

- p

$- p$ an.

f (- p) = 12 ({(- 1)}^{5} p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1

$f (- p) = 12 ({(- 1)}^{5} p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.2

Potenziere

$- 1$ mit

$5$ .

$f (- p) = 12 (- p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$12$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf

$- p$ an.

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 ({(- 1)}^{5} p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.5

Potenziere

$- 1$ mit

$5$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 (- p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 18$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.7

Wende die Produktregel auf

$- p$ an.

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 ({(- 1)}^{3} p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.8

Potenziere

$- 1$ mit

$3$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 (- p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.9

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 6$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Schritt 5.10

Wende die Produktregel auf

$- p$ an.

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} p^{2}) w - 1$

Schritt 5.11

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 (1 p^{2}) w - 1$

Schritt 5.12

Mutltipliziere

$p^{2}$ mit

$1$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Schritt 6

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term

$2$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens

$2$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B.

$2 - 2$ ).

Negative Wurzeln:

$2$ oder

$0$

Schritt 7

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist

$3$ oder

$1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist

$2$ oder

$0$ .

Positive Wurzeln:

$3$ oder

$1$

Negative Wurzeln:

$2$ oder

$0$